Misha Rudnev dacht niet dat hij het opgelost zou zien. Ooit.
Hij is aan de Universiteit van Bristol. Hij noemt dit resultaat absoluut een bom.
Een 80 jaar oud wiskundig vermoeden, het soort hardnekkige puzzel dat de beste denkers ter wereld bespot, is zojuist ontmanteld. Niet door een genie in een truivest die naar een whiteboard staart tot zijn ogen bloeden. Maar door een kunstmatige intelligentie gebouwd door OpenAI.
De reactie was geen beleefd applaus. Het was een schok.
Tim Gowers uit Cambridge nam geen blad voor de mond op zijn blog. Hij noemde het een mijlpaal. Toen voegde hij er iets zwaarders aan toe. Als een mens dit bewijs had geschreven en het had ingediend bij The Annals of Mathematics – een van de beste tijdschriften ter wereld – en had gevraagd om het snel te lezen, zou Gowers onmiddellijk ‘accepteren’ hebben gezegd. Geen aarzeling. Geen twijfel.
Geen enkele AI heeft dit eerder gedaan. Niet dichtbij.
Het raster is een leugen
Laten we teruggaan naar de puzzel zelf.
Het komt van Paul Erdős, een wiskundige uit de vorige eeuw die wiskunde als een feestje en ideeën als vrij zwevende munt behandelde. Hij hield van het vlakke eenheidsafstandsprobleem omdat het er eenvoudig uitziet. Bijna bedrieglijk dus.
Dit is de opzet: neem een oneindig vel papier. Zet er stippen op. Welk patroon je maar wilt. Teken nu lijnen tussen de stippen, maar elke afzonderlijke lijn moet exact dezelfde lengte hebben. Hoeveel lijnen kun je krijgen?
Erdős dacht dat hij het antwoord wist. Hij geloofde dat de beste manier om die verbindingen tot stand te brengen, was door de punten in een raster te rangschikken. Een netjes, symmetrisch raster. Als je dat zou doen, zou het aantal verbindingen niet exploderen. Het zou dicht bij het aantal stippen zelf blijven. Iets hoger.
Decennia lang probeerden mensen hem gelijk te geven. Of probeer het netwerk te doorbreken om meer verbindingen te krijgen. Ze faalden. Of meestal mislukt. De laatste echte verbetering van dit inzicht kwam meer dan veertig jaar geleden. Het veld stond stil. Het raster leek onaantastbaar.
OpenAI heeft zojuist de tafel omver geschopt.
Schaduwboksen
Het nieuwe model ontdekte dat Erdős ongelijk had. Aanzienlijk verkeerd.
Je hebt geen symmetrie nodig om dit spel te winnen. In feite houdt symmetrie je tegen.
De AI heeft manieren gevonden om punten in rommelige, asymmetrische patronen te rangschikken, waardoor er veel meer paren verbonden punten ontstaan. Veel meer.
Will Sawin van Princeton University zegt dat zijn eerste gedachte puur ongeloof was. Echt niet. Hij vond dat de aanpak van de AI gebrekkig was. Hij las het opnieuw. Dan nog een keer.
Hij veranderde snel van gedachten. Nu zegt hij dat dit het belangrijkste is wat een AI tot nu toe voor de wiskunde heeft gedaan.
Hier is hoe de cheatcode ongeveer werkte:
- De AI dacht niet alleen in 2D. Het stapte op naar hogere dimensies.
- Er werd gebruik gemaakt van een techniek uit de algebraïsche getaltheorie, een tak van de wiskunde die de meeste meetkundigen negeren.
- Het bouwde enorme roosters in die hogere dimensies.
- Vervolgens stortte het die vormen terug in ons platte vlak.
Wat we zien is slechts de schaduw. De hoogdimensionale structuur werpt een specifieke 2D-schaduw. Die schaduw doorbreekt het raster. Die schaduw doorbreekt het vermoeden van Erdős.
“Het tegenvoorbeeld… is complex”, zegt Kevin Buzzard van Imperial College London. “Maar het vergt vindingrijkheid om het in elkaar te zetten.”
OpenAI laat hun broncode of trainingsgegevens nog niet zien. Sheryl Hsu, een van hun onderzoekers, merkt op dat het model voor algemeen gebruik is. Ze hebben hem niet opgeleid om wiskundeonderzoek te doen. Het gebeurde gewoon.
Waarom mensen het hebben gemist
Hadden we dit moeten zien aankomen?
Misschien niet.
Samuel Mansfield uit Manchester suggereert dat deze mislukking geen gebrek aan proberen was, maar een gebrek aan verbinding. De puzzel van Erdős behoorde tot de geometrie. De oplossing vereiste algebraïsche getaltheorie.
De meeste mensen die vormen bestuderen, duiken niet diep in getallenvelden. En mensen die van cijfers houden, tekenen zelden diagrammen op papier. Het vereist kennis van veel verschillende gebieden. Tegelijkertijd.
Mensen zijn specialisten. AI’s zijn niet gebonden aan afdelingsgrenzen.
Is het verrassend dat een machine deze aan elkaar heeft gestikt? Mansfield zegt achteraf gezien dat dit niet zo zou moeten zijn. Het lijkt precies te zijn waar een AI goed voor is.
De schoonmaakploeg
Het resultaat lost de kwantummechanica niet op. Het helpt mogelijk niet bij het oplossen van andere openstaande problemen. Zoals Rudnev opmerkte, was de voornaamste aantrekkingskracht de pure intellectuele uitdaging. Het was een muur. Eindelijk hebben we hem beklommen.
Maar het rimpeleffect begon onmiddellijk.
Will Sawin keek naar het bewijs van de AI, begreep het mechanisme en paste het aan. Hij verbeterde de grenzen. De mens is al bezig met een inhaalslag.
Buizerd wijst op het snelheidsverschil. Bij sommige menselijke doorbraken heeft de gemeenschap maanden of jaren nodig om de wiskunde te valideren. Om te geloven dat het waar is.
Dit? Mensen hebben het snel geïnternaliseerd. Wij begrepen het. Wij hebben het gegeneraliseerd.
Er is hier geen mooie strik. Gewoon een vreemde, asymmetrische schaduw op een vlak vlak, die bewijst dat het raster nooit de limiet was. Het was gewoon een gewoonte.
Wij kijken er nog steeds naar. Benieuwd wat de machine nog meer zag dat wij niet zagen.
